Logica formale

L'arte della logica consiste nell'esaminare i metodi e i principi attraverso i quali possiamo distinguere tra un ragionamento giusto e uno sbagliato. La logica si focalizza principalmente sui processi di inferenza, e mira a definire quali tipologie di pensiero sono legittime e quali non lo sono. I fondamenti logici universali Le proposizioni Il sillogismo Teoremi e schemi Condizioni necessarie e sufficienti Ragionamento induttivo e deduttivo Quiz di logica I fondamenti logici universali Ogni processo di ragionamento richiede il rispetto dei fondamenti logici universali, che includono: Il principio di identità, che stabilisce che ogni entità è identica a se stessa e non può essere modificata durante un discorso (A A). Il principio di non contraddizione, che afferma che non è possibile attribuire una proprietà e la sua negazione ad un'entità allo stesso tempo (A ≠ non A). Il principio del terzo escluso, che sostiene che ogni entità può essere A o non A e non c'è una terza possibilità (spesso espresso con la formula latina "tertium non datur"). Le proposizioni La logica è una disciplina che si occupa esclusivamente di analizzare e valutare la veridicità o falsità delle proposizioni. Una proposizione è un enunciato composto da parole o simboli che possono essere giudicati come vero o falso, in base a determinati criteri logici. Ad esempio, "il sole sorge ad est" è una proposizione vera, mentre "la neve è rossa" è una proposizione falsa. Tuttavia, la logica non si occupa di esprimere domande, ordini o frasi che esprimono desideri. Queste sono forme di espressione che non possono essere giudicate come vere o false. Ad esempio, "puoi passarmi il sale?" è una domanda che non può essere giudicata come vera o falsa, poiché non è una proposizione. Allo stesso modo, "voglio una pizza" è una frase che esprime un desiderio, ma che non può essere valutata come vera o falsa in termini logici. Negazione La negazione di una proposizione A è la proposizione non A La proposizione non A è vera se A è falsa La proposizione non A è falsa se A è vera Congiunzione La congiunzione di due proposizioni A e B è la proposizione “A e B”. Essa è vera solo se le due proposizioni sono entrambe vere. In tutti gli altri casi è falsa. Disgiunzione La disgiunzione inclusiva di due proposizioni A e B è la proposizione “A o B”. Essa è falsa solo se le due proposizioni sono entrambe false. In tutti gli altri casi è vera. Qualità e quantità Le proposizioni possono essere distinte per: qualità - positive - esempio: il tavolo è quadrato - negative - esempio: il tavolo non è quadrato quantità - universali esempio: tutti i tavoli sono quadrati - particolari esempio: alcuni tavoli sono quadrati Tipi di proposizioni Esistono pertanto quattro forme di proposizioni: universale positiva - esempio: tutti i tavoli sono quadrati universale negativa - esempio: nessun tavolo è quadrato particolare positiva - esempio alcuni tavoli sono quadrati particolare negativa - alcuni tavoli non sono quadrati Due proposizioni sono contraddittorie se l’una è la negazione dell’altra, cioè, se non possono essere entrambe vere e non possono essere entrambe false. Due proposizioni sono contrarie se non possono essere entrambe vere, anche se possono essere entrambe false. Due proposizioni sono dette subcontrarie se non possono essere entrambe false, sebbene possano essere entrambe vere. L’opposizione tra una proposizione universale e la sua corrispondente particolare viene denominata subalternazione. Attenzione! L’affermazione ‘tutti gli X sono Y’ NON equivale a ‘tutti gli Y sono X’ Per ogni frase bisogna chiedersi: è vero anche il viceversa? Rappresentare le proposizioni come diagrammi di Venn, in questi casi, ci può venire in aiuto! Pertanto: Se A è data come vera: E è falsa, I è vera, O è falsa. Se E è data come vera: A falsa, I è falsa, O è vera. Se I è data come vera: E è falsa, mentre A e O sono indeterminate Se O è data come vera: A è falsa, mentre E e I sono indeterminate Se A è data come falsa: O è vera, mentre E e I sono indeterminate Se E è data come falsa: I è vera, mentre A e O sono indeterminate Se I è data come falsa: A è falsa, E è Vera, O è vera Se O è data come falsa: A è vera, E è falsa, I è vera Sillogismo Un sillogismo è un modello di ragionamento composto da due affermazioni, note come premesse, dalle quali viene dedotta una terza affermazione, chiamata conclusione. Al valutare i ragionamenti, è importante considerare se la conclusione è derivata in modo logico dalle premesse, e se queste forniscono valide ragioni per accettare la conclusione. Il termine maggiore del sillogismo è il termine che funge da predicato nella conclusione. Il termine minore del sillogismo è invece il termine che appare come soggetto nella conclusione. Infine, il termine medio del sillogismo è il terzo termine, che compare in entrambe le premesse ma non nella conclusione. Un esempio di sillogismo è: "Tutti gli uomini sono mortali. Socrate è un uomo. Quindi, Socrate è mortale". Quindi: Tutti gli uomini (uomo termine medio) sono mortali (termine maggiore). Socrate (termine minore) è un uomo (termine medio). Socrate (termine minore) è mortale (termine maggiore). Ci sono parole che introducono la conclusione di un argomento, come ad esempio: pertanto segue che quindi si conclude che dunque vuol dire che così si può inferire di conseguenza comporta che prova che implica che come risultato ci consente di inferire che per questo motivo porta alla conclusione che per queste ragioni Altre parole o frasi servono in modo particolare a segnalare le premesse di un argomento, come ad esempio: poiché come indicato da perché la ragione è che dato che per la ragione che visto che può essere inferito da segue da può essere derivato da come mostrato da può essere dedotto da in quanto che in vista del fatto che Attenzione! È impossibile che non → è necessario che Non è impossibile → è possibile Le regole del sillogismo La validità di un sillogismo dipende esclusivamente dalla sua forma. Le violazioni delle regole sono chiamate “fallacie formali”. 1 regola - Se una delle due premesse è negativa, la conclusione deve essere negativa Esempio valido: Nessun uomo è un albero. Alcuni alberi sono sempreverdi. Alcuni uomini non sono sempreverdi. Esempio non valido: Nessun poeta è un dirigente. Alcuni artisti sono poeti. Quindi alcuni artisti sono dirigenti. 2 regola - Se le premesse sono AFFERMATIVE la conclusione sarà AFFERMATIVA Esempio valido: Tutte le palle sono sferiche Marco ha tre palle Le palle di marco sono sferiche Esempio non valido: Tutti le crostate sono fatte con le uova Alcune crostate non usano uova di gallina Esistono crostate che usano uova di gallina 3 regola - Un sillogismo in forma normale valido deve contenere tre termini, ciascuno dei quali viene usato nello STESSO SENSO in tutto l’argomento Esempio valido: Tutti i cani hanno quattro zampe. Fido è un cane. Fido ha quattro zampe Esempio non valido: Il potere tende a corrompere, La conoscenza è potere, Quindi la conoscenza tende a corrompere Il termine “potere” è utilizzato con significati diversi, quindi non è un sillogismo valido. 4 regola - Se le premesse contengono una informazione PARTICOLARE (alcuni, Marco…) la conclusione sarà PARTICOLARE Esempio valido: Tutti i romanzi raccontano una storia Alcuni romanzi sono horror Alcune storie raccontate nei romanzi sono horror Esempio non valido: Tutti i canarini sono animali domestici. Nessun unicorno è un animale domestico. Quindi alcuni unicorni non sono canarini. 5 regola - Il termine medio deve essere distribuito almeno in una premessa (ma non nella conclusione) Esempio valido: Tutti gli italiani sono europei Tutti i romani sono italiani Tutti i romani sono europei Esempio non valido: Tutti i russi sono rivoluzionari Tutti gli anarchici sono rivoluzionari Quindi tutti gli anarchici sono russi In questo esempio manca il termine medio, perché russi e anarchici si riferiscono a una classe, quella dei rivoluzionari, dove però loro costituiscono solo una parte, quindi non è un sillogismo valido. 6 regola - Se uno dei due termini è distribuito nella conclusione, allora deve essere distribuito nelle premesse Esempio valido: Nessun mammifero nasce dalle uova La balena è un mammifero La balena non nasce dalle uova Esempio non valido: Tutti i cani sono mammiferi Nessun gatto è un cane Quindi nessun gatto è un mammifero La conclusione si riferisce a tutti i mammiferi, ma le premesse non fanno alcuna affermazione riguardo a tutti i mammiferi, quindi non è un sillogismo valido. 7 regola - Nessun sillogismo con due premesse negative è valido Esempio valido: Nessun astrologo è uno scienziato Alcuni scienziati sono uomini Alcuni uomini non sono astrologi Esempio non valido: Nessun astrologo è uno scienziato Alcuni scienziati non sono maghi Quindi alcuni maghi non sono astrologi Teoremi e schemi I ragionamenti possono seguire degli schemi. Modus ponens Se diciamo: “Se Marina è colpevole, anche Antonio è colpevole. Marina è colpevole, quindi Antonio è colpevole”. Questo ragionamento ha due premesse e una conclusione: 1° premessa: Se Marina è colpevole, anche Antonio è colpevole 2° premessa: Marina è colpevole Conclusione: Antonio è colpevole Lo schema si può scrivere come: A → B, A B Questo ragionamento è chiamato modus ponens. Modus tollens Se diciamo: “Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti; il triangolo non ha due angoli congruenti, quindi il triangolo non è isoscele”. Questo ragionamento ha due proposizioni: A: un triangolo è isoscele B: un triangolo ha due angoli congruenti Inoltre c’è una implicazione: A→ B Lo schema si può scrivere come: A → B, non-B non-A Questo ragionamento è chiamato modus tollens. Teoremi e dimostrazioni I teoremi sono enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire da postulati o altri teoremi. Una dimostrazione è una sequenza di definizioni che, partendo da affermazioni considerate vere (ipotesi), fa giungere a una nuova affermazione (tesi). Teorema diretto Il teorema diretto è strutturato così: Se A, allora B A è l’ipotesi B è la tesi In simboli: A → B Teorema inverso Nel teorema inverso si scambiano l’ipotesi e la tesi: Se B, allora A B è l’ipotesi A è la tesi In simboli: B → A Il teorema inverso NON è equivalente al teorema diretto (A→ B) Teorema contrario Nel teorema contrario si nega l’ipotesi e si nega la tesi: Se non A, allora non B In simboli: non-A → non-B Il teorema contrario NON è equivalente al teorema diretto A → B Teorema contronominale Nel teorema contronominale si scambiano e si negano l’ipotesi e la tesi: Se non B, allora non A In simboli: non-B → non-A Il teorema contronominale è EQUIVALENTE al teorema diretto A → B Doppia implicazione La doppia implicazione di due proposizioni A e B è una proposizione vera se A e B sono entrambe vere o entrambe false. Negli altri due casi è falsa. Se A è VERA e B è VERA oppure Se A è FALSA e B è FALSA A ↔ B è VERA (si legge A se e solo se B) Se A è VERA e B è FALSA oppure Se A è FALSA e B è VERA A ↔ B è FALSA Con la doppia implicazione (A ↔ B) si verificano sia il teorema diretto (A → B) che il teorema inverso (B → A). Con la doppia implicazione: Il teorema diretto e il teorema contronominale sono equivalenti Il teorema inverso e il teorema contrario sono equivalenti Promesse non mantenute Se viene formulata una promessa del tipo A → B quando si puòdire che la promessa non è stata mantenuta? Solo quando si verifica A e non si verifica B. Se invece non si verifica A e si verifica B, non si può parlare di promessa non mantenuta. Se viene formulata una promessa del tipo A ↔ B quando si può dire che la promessa non è stata mantenuta? In due casi: Quando si verifica A e non si verifica B Quando NON si verifica A e si verifica B Se si verifica A e si verifica B non si può parlare di promessa non mantenuta. Se non si verifica A e non si verifica B non si può parlare di promessa non mantenuta. Condizioni necessarie e sufficienti Condizioni necessarie La condizione necessaria è ciò che deve verificarsi affinché avvenga una cosa. Senza questa condizione “una cosa” non può verificarsi, ma non è detto che se si verifichi questa condizione allora la cosa si verifichi. Esempio: Per avere la patente la condizione necessaria è avere 18 anni. Ma avere 18 anni non è sufficiente ad avere la patente. Condizioni sufficienti La condizione sufficiente è la condizione che basta che si verifichi affinché avvenga “una cosa”. Esempio: per avere la cittadinanza italiana è sufficiente nascere da genitori italiani. Ma per avere la cittadinanza italiana non è necessario avere i genitori italiani, è possibile acquisirla in altri modi. Condizioni necessarie e sufficienti Non è detto che una condizione necessaria sia sufficiente, né che una condizione sufficiente sia necessaria. Possono però capitare delle condizioni che sono sia necessarie che sufficienti. Esempio: segnare più gol è una condizione necessaria e sufficiente per vincere la partita. Ragionamento induttivo e deduttivo Il processo di ragionamento è un processo mentale che si basa sull'analisi di premesse al fine di giungere a conclusioni. Esistono due tipi di ragionamento principali: il ragionamento induttivo e il ragionamento deduttivo. Il ragionamento induttivo parte da premesse specifiche e cerca di trarre conclusioni generali. In altre parole, il ragionamento induttivo utilizza esempi specifici per raggiungere una conclusione generale. Ad esempio, se osserviamo che tutti i corvi che abbiamo visto sono neri, possiamo dedurre che tutti i corvi sono neri. Questo tipo di ragionamento può essere utile per fare previsioni su eventi futuri sulla base di esperienze passate. Il ragionamento deduttivo, d'altra parte, parte da premesse generali e cerca di trarre conclusioni specifiche. In questo tipo di ragionamento, si parte da una o più affermazioni generali e si giunge a conclusioni specifiche. Ad esempio, se partiamo dall'affermazione che "tutti gli esseri umani sono mortali" e sappiamo che "Socrate è un essere umano", possiamo dedurre che "Socrate è mortale". Questo tipo di ragionamento è spesso utilizzato nelle scienze e nella logica matematica, dove le conclusioni devono essere rigorosamente dimostrate.