Teoremi e schemi
I ragionamenti possono seguire degli schemi.
Modus ponens
Se diciamo:
“Se Marina è colpevole, anche Antonio è colpevole. Marina è colpevole, quindi Antonio è colpevole”.
Questo ragionamento ha due premesse e una conclusione:
1° premessa: Se Marina è colpevole, anche Antonio è colpevole
2° premessa: Marina è colpevole
Conclusione: Antonio è colpevole
Lo schema si può scrivere come:
A → B,
A
B
Questo ragionamento è chiamato modus ponens.
Modus tollens
Se diciamo:
“Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti; il triangolo non ha due angoli congruenti, quindi il triangolo non è isoscele”.
Questo ragionamento ha due proposizioni:
A: un triangolo è isoscele
B: un triangolo ha due angoli congruenti
Inoltre c’è una implicazione: A→ B
Lo schema si può scrivere come:
A → B,
non-B
non-A
Questo ragionamento è chiamato modus tollens.
Teoremi e dimostrazioni
I teoremi sono enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire da postulati o altri teoremi.
Una dimostrazione è una sequenza di definizioni che, partendo da affermazioni considerate vere (ipotesi), fa giungere a una nuova affermazione (tesi).
Teorema diretto
Il teorema diretto è strutturato così:
Se A, allora B
A è l’ipotesi
B è la tesi
In simboli: A → B
Teorema inverso
Nel teorema inverso si scambiano l’ipotesi e la tesi:
Se B, allora A
B è l’ipotesi
A è la tesi
In simboli: B → A
Il teorema inverso NON è equivalente al teorema diretto (A→ B)
Teorema contrario
Nel teorema contrario si nega l’ipotesi e si nega la tesi:
Se non A, allora non B
In simboli: non-A → non-B
Il teorema contrario NON è equivalente al teorema diretto A → B
Teorema contronominale
Nel teorema contronominale si scambiano e si negano l’ipotesi e la tesi:
Se non B, allora non A
In simboli: non-B → non-A
Il teorema contronominale è EQUIVALENTE al teorema diretto A → B
Doppia implicazione
La doppia implicazione di due proposizioni A e B è una proposizione vera se A e B sono entrambe vere o entrambe false. Negli altri due casi è falsa.
| Se A è VERA e B è VERA oppure Se A è FALSA e B è FALSA |
A ↔ B è VERA (si legge A se e solo se B) |
| Se A è VERA e B è FALSA oppure Se A è FALSA e B è VERA |
A ↔ B è FALSA |
Con la doppia implicazione (A ↔ B) si verificano sia il teorema diretto (A → B) che il teorema inverso (B → A).
Con la doppia implicazione:
- Il teorema diretto e il teorema contronominale sono equivalenti
- Il teorema inverso e il teorema contrario sono equivalenti
Promesse non mantenute
Se viene formulata una promessa del tipo A → B quando si puòdire che la promessa non è stata mantenuta?
- Solo quando si verifica A e non si verifica B.
Se invece non si verifica A e si verifica B, non si può parlare di promessa non mantenuta.
Se viene formulata una promessa del tipo A ↔ B quando si può dire che la promessa non è stata mantenuta?
In due casi:
- Quando si verifica A e non si verifica B
- Quando NON si verifica A e si verifica B
Se si verifica A e si verifica B non si può parlare di promessa non mantenuta.
Se non si verifica A e non si verifica B non si può parlare di promessa non mantenuta.
